Định lý Ptoleme là gì? Cách chứng minh định lý Ptoleme chi tiết nhất 2023

Định lý Ptoleme là gì?

220px Ptolemy Theorem.svg

Định lý Ptôlêmê về mối liên hệ giữa độ dài các cạnh trong một tứ giác nội tiếp.

Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu ABC, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:

với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

THUẬN:NẾU MỘT TỨ GIÁC NỘI TIẾP TRONG MỘT ĐƯỜNG TRÒN THÌ TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO BẰNG TỔNG CÁC TÍCH CỦA CÁC CẶP CẠNH ĐỐI DIỆN
ĐẢO:NẾU MỘT TỨ GIÁC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TỔNG CÁC TÍCH CỦA CÁC CẶP CẠNH ĐỐI DIỆN BẰNG TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO THÌ TỨ GIÁC ĐÓ NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN.

với dấu gạch ngang ký hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

THUẬN:NẾU MỘT TỨ GIÁC NỘI TIẾP TRONG MỘT ĐƯỜNG TRÒN THÌ TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO BẰNG TỔNG CÁC TÍCH CỦA CÁC CẶP CẠNH ĐỐI DIỆN
ĐẢO:NẾU MỘT TỨ GIÁC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TỔNG CÁC TÍCH CỦA CÁC CẶP CẠNH ĐỐI DIỆN BẰNG TÍCH CỦA HAI ĐƯỜNG CHÉO THÌ TỨ GIÁC ĐÓ NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN.

Chứng minh Định lý Ptoleme

  1. Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
  2. Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.
  3. Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
    1. Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
  4. Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD đồng dạng với △KBC.
  5. Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
    1. Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
    2. Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
    3. Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
    4. Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Ptoleme

Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu AB CD là tứ giác bất kỳ thì

��¯⋅��¯+��¯⋅��¯≥��¯⋅��¯

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemye.

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm  sao cho △��� đồng dạng với △���. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

����=����

Suy ra

��.��=��.��(1)

Mặt khác, △��� và △��� cũng đồng dạng do có

����=���� VÀ ���^=���^

Từ đó

����=����

Suy ra

��.��=��.��(2)

Cộng (1) và (2) ta suy ra

��⋅��+��⋅��=��⋅(��+��)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra ��⋅��+��⋅��≥��⋅��

Nguồn: định lý ptolemy

Related Posts

Xem Phim Gia Đình Quái Vật: Monster Family (2023): Cuộc Hành Trình Đến Linh Giới

Nội dung phim Gia Đình Quái Vật “Gia đình Quái Vật” là một cuộc phiêu lưu đầy hài hước và đáng yêu của gia đình Wishbone để…

Xem Phim Wolfoo Và Hòn Đảo Kỳ Bí: Wolfoo and The Mysterious Island (2023): Sự Trở Về

Nội dung phim Wolfoo Và Hòn Đảo Kỳ Bí “Wolfoo Và Hòn Đảo Kỳ Bí” là một cuốn hồi ký phiêu lưu thú vị về chú sói…

Xem phim Hội chứng tuổi thanh xuân: Rascal Does Not Dream Of A Sister (2023): Sự Tái Khởi Đầu

Nội dung phim Hội chứng tuổi thanh xuân “Hội Chứng Tuổi Thanh Xuân: Em Gái Xuất Hành” là một bộ phim đầy cảm xúc, kể về hành…

Xem Phim Cú Máy Ăn Tiền – Cobweb (2023) FULL HD: Đam Mê Và Sự Đối Đầu

Nội dung phim Cú Máy Ăn Tiền “Cú Máy Ăn Tiền” là một bộ phim kịch tính đặt bối cảnh vào những năm 1970 tại Hàn Quốc….

Xem Phim Thanh Gươm Trừ Tà – Dr. Cheon and Lost Talisman (2023) Vietsub FULL HD: Cuộc Chiến Với Quỷ Dữ

Nội dung phim Thanh Gươm Trừ Tà “Thanh Gươm Trừ Tà: Dr. Cheon and Misplaced Talisman” là một bộ phim kinh dị và hài hước của Hàn…

Xem Phim Quỷ Ám: Tín Đồ – The Exorcist: Believer (2023) Vietsub: Cuộc Truy Tìm Linh Hồn

Nội dung phim Quỷ Ám: Tín Đồ Mùa thu cách đây 50 năm, bộ phim kinh dị lịch sử – “The Exorcist”, đã khiến khán giả trên…